727(722). Во сколько раз надо изменить расстояние между двумя зарядами, чтобы при погружении их в керосин сила взаимодействия между ними была такая же, как в воздухе?

Решение:

Сила взаимодействия между двумя зарядами описывается законом Кулона:

В воздухе (или вакууме): \( F_1 = k \cdot \frac{|q_1 q_2|}{r_1^2} \)

В керосине: \( F_2 = k \cdot \frac{1}{\varepsilon} \cdot \frac{|q_1 q_2|}{r_2^2} \)

где \( k \) — коэффициент пропорциональности, \( q_1, q_2 \) — величины зарядов, \( r_1, r_2 \) — расстояние между зарядами в воздухе и керосине соответственно, \( \varepsilon \) — диэлектрическая проницаемость керосина.

По условию задачи, сила взаимодействия должна остаться такой же: \( F_1 = F_2 \).

\( k \cdot \frac{|q_1 q_2|}{r_1^2} = k \cdot \frac{1}{\varepsilon} \cdot \frac{|q_1 q_2|}{r_2^2} \)

Сокращаем одинаковые множители:

\( \frac{1}{r_1^2} = \frac{1}{\varepsilon
_2^2} \)

Отсюда:

\( r_2^2 = \frac{r_1^2}{\varepsilon} \) или \( r_2 = \frac{r_1}{\sqrt{\varepsilon}} \)

Нам нужно найти, во сколько раз надо изменить расстояние, то есть найти отношение \( \frac{r_2}{r_1} \) или \( \frac{r_1}{r_2} \).

Из \( r_2 = \frac{r_1}{\sqrt{\varepsilon}} \) следует, что \( r_1 = r_2 · \sqrt{\varepsilon} \) или \( r_2 = r_1 · \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} \).

Во сколько раз надо изменить расстояние? Вопрос означает, какое новое расстояние \( r_2 \) нужно взять по отношению к старому \( r_1 \).

\( \frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\varepsilon} \)

Диэлектрическая проницаемость керосина \( \varepsilon \) примерно равна 2.

\( \frac{r_1}{r_2} = \sqrt{2} \approx 1.414 \)

Это означает, что расстояние в керосине должно быть в \( \sqrt{\varepsilon} \) раз меньше, чем в воздухе, чтобы сила осталась той же.

То есть, чтобы сила взаимодействия была такой же, как в воздухе, расстояние между зарядами в керосине должно быть в \( \sqrt{2} \) раза меньше, чем в воздухе. Или, что то же самое, нужно увеличить расстояние в воздухе в \( \sqrt{2} \) раз, чтобы при погружении в керосин сила осталась прежней.

Формулировка вопроса: "Во сколько раз надо изменить расстояние... чтобы ... сила ... была такая же, как в воздухе?"

Пусть \( r_{воздух} \) - расстояние в воздухе, \( r_{керосин} \) - расстояние в керосине.

\( F_{воздух} = k \frac{q_1 q_2}{r_{воздух}^2} \)

\( F_{керосин} = k \frac{1}{\varepsilon} \frac{q_1 q_2}{r_{керосин}^2} \)

Условие: \( F_{воздух} = F_{керосин} \) => \( k \frac{q_1 q_2}{r_{воздух}^2} = k \frac{1}{\varepsilon} \frac{q_1 q_2}{r_{керосин}^2} \)

\( \frac{1}{r_{воздух}^2} = \frac{1}{\varepsilon r_{керосин}^2} \)

\(
_ {керосин}^2 = \frac{r_{воздух}^2}{\varepsilon} \)

\( r_{керосин} = \frac{r_{воздух}}{\sqrt{\varepsilon}} \)

Значит, чтобы сила была одинаковой, расстояние в керосине должно быть меньше, чем в воздухе, в \( \sqrt{\varepsilon} \) раз.

Если же мы хотим, чтобы сила взаимодействия в керосине была такая же, как в воздухе, при заданном расстоянии в воздухе \( r_{воздух} \) и зарядах \( q_1, q_2 \), то нам нужно подобрать такое расстояние \( r_{керосин} \).

\( r_{керосин} = \frac{r_{воздух}}{\sqrt{\varepsilon}} \)

Таким образом, расстояние нужно УМЕНЬШИТЬ в \( \sqrt{\varepsilon} \) раз. То есть, новое расстояние \( r_{керосин} \) относится к старому \( r_{воздух} \) как \( 1 / \sqrt{\varepsilon} \).

\( r_{керосин} / r_{воздух} = 1 / \sqrt{\varepsilon} \)

Если \( \varepsilon = 2 \), то \( r_{керосин} / r_{воздух} = 1 / \sqrt{2} \).

Расстояние в керосине должно быть в \( \sqrt{2} \) раза меньше.

Вопрос "Во сколько раз надо изменить расстояние..." означает, какой множитель \( X \) нужно применить к исходному расстоянию, чтобы получить новое расстояние.

\( r_{новый} = X · r_{исходный} \)

Если исходное расстояние было в воздухе \( r_{воздух} \), а хотим получить такую же силу в керосине, то новое расстояние \( r_{керосин} \) должно быть:

\( r_{керосин} = r_{воздух} / \sqrt{\varepsilon} \)

Следовательно, \( X = 1 / \sqrt{\varepsilon} \).

Если \( \varepsilon = 2 \), то \( X = 1 / \sqrt{2} \).

Надо изменить расстояние в \( \sqrt{2} \) раз (уменьшить).

Ответ: В \( \sqrt{2} \) раз.