73. Докажите, что медианы, проведённые к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.

Пусть △ABC — равнобедренный, AB = AC. Обозначим через M середину AB, а через N — середину AC. Тогда CM и BN — медианы, проведённые к боковым сторонам.

1. Так как M и N — середины сторон, BM = AB/2, а CN = AC/2. Из AB = AC следует BM = CN.
2. BC — общая сторона треугольников CBM и BCN.
3. ∠CBM = ∠CBA, а ∠BCN = ∠BCA. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому ∠CBM = ∠BCN.
4. Следовательно, △CBM = △BCN по двум сторонам и углу между ними.

В равных треугольниках соответствующие стороны равны, значит CM = BN. Следовательно, медианы, проведённые к боковым сторонам, равны.