73. В тетраэдре ABCD точки M, N и P являются серединами рёбер AB, BC и CD, AC = 10 см, BD = 12 см. Докажите, что плоскость MNP проходит через середину K ребра AD, и найдите периметр четырёхугольника, получившегося при пересечении тетраэдра с плоскостью MNP.

Обозначим через K середину ребра AD.

1. В треугольнике ABD точки M и K — середины сторон AB и AD. Поэтому отрезок MK является средней линией треугольника: MK ∥ BD.
2. В треугольнике ACD точки K и P — середины сторон AD и CD. Поэтому KP ∥ AC.
3. Через точку M в плоскости MNP проходит прямая, параллельная BD, а через точку P — прямая, параллельная AC. Следовательно, точка K, определяемая пересечением этих прямых, принадлежит плоскости MNP. Значит, плоскость MNP проходит через середину K ребра AD.
4. В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC, поэтому MN ∥ AC и MN = AC/2 = 10/2 = 5 см.
5. В треугольнике BCD точки N и P — середины сторон BC и CD, поэтому NP ∥ BD и NP = BD/2 = 12/2 = 6 см.
6. Аналогично, PK = AC/2 = 5 см, а KM = BD/2 = 6 см.

Сечение является параллелограммом MNPK, поэтому его периметр равен

\(P = MN + NP + PK + KM = 5 + 6 + 5 + 6 = 22\) см.

Ответ: 22 см.