734 Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм — квадрат.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии.

Разбор задачи:

У нас есть параллелограмм, и нам нужно доказать, что он является квадратом. Условие такое: в него можно вписать окружность и около него можно описать окружность.

Шаг 1: Вписанная окружность

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то сумма длин противоположных сторон равна.

Для параллелограмма это значит:

• Пусть стороны параллелограмма равны a и b.
• Тогда a + a = b + b, что упрощается до 2a = 2b.
• Из этого следует, что a = b.

Вывод: Если в параллелограмм можно вписать окружность, то все его стороны равны. Такой параллелограмм называется ромбом.

Шаг 2: Описанная окружность

Если около четырехугольника можно описать окружность, то сумма противоположных углов равна 180 градусам.

Для параллелограмма:

• Пусть углы параллелограмма равны α и β.
• В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние углы в сумме дают 180 градусов (α + β = 180°).
• Если около параллелограмма можно описать окружность, то α + α = 180° и β + β = 180°.
• Отсюда 2α = 180°, то есть α = 90°, и 2β = 180°, то есть β = 90°.

Вывод: Если около параллелограмма можно описать окружность, то все его углы прямые (90°). Такой параллелограмм называется прямоугольником.

Шаг 3: Объединяем условия

Мы выяснили, что:

• Условие вписанной окружности означает, что параллелограмм — ромб (все стороны равны).
• Условие описанной окружности означает, что параллелограмм — прямоугольник (все углы прямые).

Параллелограмм, который одновременно является и ромбом, и прямоугольником, называется квадратом!

Итог:

Итак, если в параллелограмм можно вписать окружность (он ромб) и около него можно описать окружность (он прямоугольник), то этот параллелограмм обязательно является квадратом.

Ответ: Доказано.