735. В трапецию с основаниями a и b можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность. Найдите радиус вписанной окружности.

Пусть основания трапеции равны \(a\) и \(b\), а её боковые стороны — \(c\) и \(d\).

1. Для четырёхугольника, в который вписана окружность, суммы длин противоположных сторон равны: \(a+b=c+d\).

2. Трапеция, около которой можно описать окружность, равнобедренная, поэтому \(c=d\). Следовательно, \(c=d=\frac{a+b}{2}\).

3. Пусть \(h\) — высота трапеции. Горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна \(\frac{|a-b|}{2}\). По теореме Пифагора:

\[h^2=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2=ab,\qquad h=\sqrt{ab}.\]

4. Вписанная окружность касается обоих параллельных оснований, поэтому расстояние между основаниями равно её диаметру: \(h=2r\).

Ответ: \(r=\frac{\sqrt{ab}}{2}\).