74. а) Катер по течению реки за 5 ч проплыл такое же расстояние, которое проплывает против течения реки за 8 ч. Во сколько раз собственная скорость катера больше скорости течения реки?

Решение:

Обозначим собственную скорость катера как \( v_{k} \), а скорость течения реки как \( v_{t} \). Расстояние \( S \) одинаково.

Скорость катера по течению: \( v_{по} = v_{k} + v_{t} \).

Скорость катера против течения: \( v_{пр} = v_{k} - v_{t} \).

Из условия задачи известно, что:

\( S = v_{по} \cdot 5 \) и \( S = v_{пр} \cdot 8 \).

Следовательно, \( (v_{k} + v_{t}) \cdot 5 = (v_{k} - v_{t}) \cdot 8 \).

Раскроем скобки:

\( 5v_{k} + 5v_{t} = 8v_{k} - 8v_{t} \).

Перенесём члены с \( v_{k} \) в одну сторону, а с \( v_{t} \) — в другую:

\( 5v_{t} + 8v_{t} = 8v_{k} - 5v_{k} \).

\( 13v_{t} = 3v_{k} \).

Нам нужно найти, во сколько раз собственная скорость катера больше скорости течения реки, то есть отношение \( \frac{v_{k}}{v_{t}} \).

Выразим \( v_{k} \) через \( v_{t} \):

\( v_{k} = \frac{13}{3} v_{t} \).

Следовательно, \( \frac{v_{k}}{v_{t}} = \frac{13}{3} \).

\( \frac{13}{3} = 4 \frac{1}{3} \).

Ответ: собственная скорость катера больше скорости течения реки в \( 4 \frac{1}{3} \) раза.