74. Через точку пересечения медиан грани BCD тетраэдра ABCD проведена плоскость, параллельная грани ABC. а) Докажите, что сечение тетраэдра этой плоскостью есть треугольник, подобный треугольнику ABC. б) Найдите отношение площадей сечения и треугольника ABC.

Обозначим через G точку пересечения медиан треугольника BCD, а через K, L, M — точки пересечения проведенной плоскости с рёбрами DA, DB, DC соответственно.

Так как плоскость KLM параллельна грани ABC, то в гранях DAB, DAC и D BC получаем пары подобных треугольников:

\(\triangle DKL \sim \triangle DAB\), \(\triangle DKM \sim \triangle DAC\), \(\triangle DLM \sim \triangle DBC\).

Из подобия следует:

\(\frac{DK}{DA}=\frac{DL}{DB}=\frac{DM}{DC}=k\).

Следовательно, треугольники \(KLM\) и \(ABC\) подобны, причём соответствующие стороны относятся как \(k\).

Поскольку точка G — центр тяжести треугольника BCD, она делит медиану, проведённую из вершины D, в отношении \(DG:GE=2:1\), где E — середина BC. Поэтому \(DG=\frac23\) медианы от вершины D.

Прямая \(GE\) лежит в плоскости сечения и параллельна \(BC\). В треугольнике \(DBC\) из подобия треугольников \(DGE\) и \(DBC\) получаем:

\[k=\frac{DL}{DB}=\frac{DG}{DE}=\frac23.\]

Значит, коэффициент подобия сечения и треугольника \(ABC\) равен \(\frac23\). Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия:

\[\frac{S_{KLM}}{S_{ABC}}=\left(\frac23\right)^2=\frac49.\]

Ответ: а) сечение — треугольник, подобный треугольнику ABC; б) \(S_{сечения}:S_{ABC}=4:9\), то есть \(\frac{S_{сечения}}{S_{ABC}}=\frac49\).