74. Используя приём представления дробей в виде разности (см. упражнение 73), вычислите: а) \(\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7}\); б) \(\frac{1}{10\cdot11}+\frac{1}{11\cdot12}+\ldots+\frac{1}{18\cdot19}+\frac{1}{19\cdot20}\); в) \(\frac12+\frac16+\frac1{12}+\frac1{20}\); г) \(\frac13+\frac1{15}+\frac1{35}+\frac1{63}+\frac1{99}\).

Используем формулу \(\frac{1}{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}\).

а)

\[\frac1{3\cdot4}+\frac1{4\cdot5}+\frac1{5\cdot6}+\frac1{6\cdot7}=\left(\frac13-\frac14\right)+\left(\frac14-\frac15\right)+\left(\frac15-\frac16\right)+\left(\frac16-\frac17\right)=\frac13-\frac17=\frac4{21}.\]

б)

\[\frac1{10\cdot11}+\frac1{11\cdot12}+\ldots+\frac1{19\cdot20}=\left(\frac1{10}-\frac1{11}\right)+\ldots+\left(\frac1{19}-\frac1{20}\right)=\frac1{10}-\frac1{20}=\frac1{20}.\]

в)

Представим знаменатели как произведения последовательных чисел:

\[\frac12+\frac16+\frac1{12}+\frac1{20}=\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\frac1{3\cdot4}+\frac1{4\cdot5}.\]

\[=(1-\frac12)+(\frac12-\frac13)+(\frac13-\frac14)+(\frac14-\frac15)=1-\frac15=\frac45.\]

г)

Знаменатели имеют вид \((2n-1)(2n+1)\):

\[\frac1{(2n-1)(2n+1)}=\frac12\left(\frac1{2n-1}-\frac1{2n+1}\right).\]

Поэтому

\[\frac13+\frac1{15}+\frac1{35}+\frac1{63}+\frac1{99}=\frac12\left(1-\frac13+\frac13-\frac15+\frac15-\frac17+\frac17-\frac19+\frac19-\frac1{11}\right)=\frac12\left(1-\frac1{11}\right)=\frac5{11}.\]

Ответ: а) \(\frac4{21}\); б) \(\frac1{20}\); в) \(\frac45\); г) \(\frac5{11}\).