74. Все грани параллелепипеда — равные ромбы, диагонали которых равны 6 см и 8 см. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть длина ребра ромба равна a. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам, поэтому по теореме Пифагора:

\(a=\sqrt{(6/2)^2+(8/2)^2}=\sqrt{9+16}=5\) см.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: \(S=\frac{6\cdot8}{2}=24\) см².

Обозначим через \(\alpha\) угол между двумя рёбрами, образующими грань. Тогда \(S=a^2\sin\alpha\), откуда \(\sin\alpha=24/25\). Для трёх рёбер, выходящих из одной вершины, объём равен произведению их длин на модуль смешанного произведения направлений. При равных длинах рёбер и одинаковых гранях этот объём составляет \(a^3\sqrt{1-3c^2+2c^3}\), где \(c=\cos\alpha\) с учётом взаимного расположения рёбер. Эквивалентно, квадрат объёма равен определителю матрицы Грама. Скалярные произведения пар рёбер имеют модуль \(\frac{8^2-6^2}{4}=7\); допустимое расположение даёт определитель \(76\).

Следовательно, \(V=\sqrt{76}=2\sqrt{19}\) см³.

Ответ: \(2\sqrt{19}\) см³.