740 Пусть d — расстояние от центра окружности радиуса r до прямой p. Каково взаимное расположение прямой p и окружности, если: а) r = 16 см, d = 12 см; б) r = 5 см, d = 4,2 см; в) r = 7,2 дм, d = 3,7 дм; г) r = 8см, d = 1,2 дм; д) r = 5 см, d = 50 мм?

Решение:

Чтобы определить взаимное расположение прямой и окружности, нужно сравнить радиус окружности (r) и расстояние от центра окружности до прямой (d).

• Если \( d < r \), прямая пересекает окружность в двух точках.
• Если \( d = r \), прямая касается окружности в одной точке.
• Если \( d > r \), прямая и окружность не имеют общих точек.

Рассмотрим каждый случай:

а) r = 16 см, d = 12 см

Сравниваем: \( 12 \text{ см} < 16 \text{ см} \), значит \( d < r \).

Ответ: прямая пересекает окружность в двух точках.

б) r = 5 см, d = 4,2 см

Сравниваем: \( 4,2 \text{ см} < 5 \text{ см} \), значит \( d < r \).

Ответ: прямая пересекает окружность в двух точках.

в) r = 7,2 дм, d = 3,7 дм

Сравниваем: \( 3,7 \text{ дм} < 7,2 \text{ дм} \), значит \( d < r \).

Ответ: прямая пересекает окружность в двух точках.

г) r = 8 см, d = 1,2 дм

Сначала приведем единицы измерения к одному виду. Переведем дециметры в сантиметры: \( 1,2 \text{ дм} = 12 \text{ см} \).

Сравниваем: \( 12 \text{ см} > 8 \text{ см} \), значит \( d > r \).

Ответ: прямая и окружность не имеют общих точек.

д) r = 5 см, d = 50 мм

Сначала приведем единицы измерения к одному виду. Переведем миллиметры в сантиметры: \( 50 \text{ мм} = 5 \text{ см} \).

Сравниваем: \( 5 \text{ см} = 5 \text{ см} \), значит \( d = r \).

Ответ: прямая касается окружности в одной точке.