742 Даны квадрат ОАВС со стороной, равной 6 см, и окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых ОА, АВ, ВС и АС являются секущими по отношению к этой окружности?

Решение:

Дано:

• Квадрат ОАВС, сторона = 6 см.
• Окружность с центром в точке \( O \) и радиусом \( r = 5 \text{ см} \).

Найти: Какие из прямых \( OA \), \( AB \), \( BC \), \( AC \) являются секущими.

Анализ:

Чтобы определить, является ли прямая секущей, нужно сравнить расстояние от центра окружности \( O \) до этой прямой с радиусом окружности \( r = 5 \text{ см} \). Если расстояние \( d < r \), то прямая — секущая.

1. Прямая OA: Точка \( A \) является вершиной квадрата, а \( O \) — центром окружности. Расстояние от \( O \) до точки \( A \) равно стороне квадрата, так как \( OA \) является стороной квадрата. \( OA = 6 \text{ см} \). Так как \( OA > r \) (6 см > 5 см), прямая \( OA \) проходит вне окружности и не является секущей.
2. Прямая AB: \( AB \) — сторона квадрата. Расстояние от центра окружности \( O \) до прямой \( AB \) равно стороне квадрата, так как \( O \) является одной из вершин квадрата, и \( AB \) перпендикулярна \( OA \). \( d = 6 \text{ см} \). Так как \( d > r \) (6 см > 5 см), прямая \( AB \) проходит вне окружности и не является секущей.
3. Прямая BC: \( BC \) — сторона квадрата. Аналогично прямой \( AB \), расстояние от центра \( O \) до прямой \( BC \) равно стороне квадрата. \( d = 6 \text{ см} \). Так как \( d > r \) (6 см > 5 см), прямая \( BC \) проходит вне окружности и не является секущей.
4. Прямая AC: \( AC \) — диагональ квадрата. Чтобы найти расстояние от \( O \) до \( AC \), рассмотрим треугольник \( OAC \). \( OA = OC = 6 \text{ см} \) (стороны квадрата). \( \angle AOC = 90^{\circ} \) (угол между сторонами квадрата). Треугольник \( OAC \) — прямоугольный равнобедренный. Диагональ \( AC = \sqrt{OA^2 + OC^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ см} \). Расстояние от \( O \) до \( AC \) — это высота \( h \) в треугольнике \( OAC \), опущенная из вершины \( O \) на гипотенузу \( AC \). Площадь \( \triangle OAC = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 \text{ см}^2 \). Также площадь \( \triangle OAC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot h \). Приравнивая площади: \( 18 = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot h \) \( \Rightarrow 18 = 3\sqrt{2} h \) \( \Rightarrow h = \frac{18}{3\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см} \). \( 3\sqrt{2} \approx 3 \cdot 1,414 = 4,242 \text{ см} \). Так как \( d = 3\sqrt{2} \text{ см} < 5 \text{ см} \) (\( 4,242 < 5 \)), прямая \( AC \) является секущей.

Ответ: Секущей по отношению к данной окружности является прямая AC.