746. Прямые MA и MB касаются окружности с центром O в точках A и B. Точка C симметрична точке O относительно точки B. Докажите, что ∠AMC = 3∠BMC.

Обозначим \(\angle BMC = x\). Так как точка C симметрична точке O относительно B, точка B — середина отрезка OC, поэтому точки O, B, C лежат на одной прямой и \(OB = BC\).

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: \(OB \perp MB\). Следовательно, треугольники MBO и MBC — прямоугольные, имеют общий катет MB и равные катеты OB и BC. Они равны по двум катетам, поэтому \(\angle BMO = \angle BMC = x\).

Касательные MA и MB проведены из одной точки, значит, \(MA = MB\). Также \(OA = OB\), а MO — общая сторона, поэтому прямоугольные треугольники MAO и MBO равны. Отсюда \(\angle AMO = \angle BMO = x\).

Луч MO лежит внутри угла AMB, а луч MB — между лучами MO и MC. Поэтому \(\angle AMC = \angle AMO + \angle OMB + \angle BMC = x + x + x = 3x\).

Ответ: \(\angle AMC = 3\angle BMC\).