747. Из концов диаметра AB данной окружности проведены перпендикуляры AA₁ и BB₁ к касательной, которая перпендикулярна диаметру AB. Докажите, что точка касания является серединой отрезка A₁B₁.

Обозначим точку касания касательной с окружностью через T.

1. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: OT ⟂ касательной.
2. По условию диаметр AB также перпендикулярен касательной.
3. Через точку T к данной прямой можно провести только одну перпендикулярную прямую. Поэтому радиус OT лежит на прямой AB.
4. Так как T принадлежит окружности и лежит на диаметре AB, то T совпадает с одним из концов диаметра. Следовательно, перпендикуляры из A и B к касательной проходят через одну и ту же точку T.
5. Значит, A₁ = B₁ = T. Поэтому точка T является серединой отрезка A₁B₁ (отрезок вырождается в точку).

Ответ: точка касания является серединой отрезка A₁B₁.