755. Проекция точки M на плоскость ромба ABCD совпадает с точкой O пересечения его диагоналей. Точка N — середина стороны BC, AC = 8, DB = MO = 6. Вычислите косинус угла между прямой MN и прямой: а) BC; б) DC; в) AC; г) DB.

Расположим плоскость ромба в координатной плоскости, а точку O — в начале координат. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому можно взять A(−4, 0), C(4, 0), B(0, 3), D(0, −3), а M(0, 0, 6).

Точка N — середина BC, значит N(2, 1.5, 0). Направляющий вектор MN равен (2, 1.5, −6), его длина равна 6.5.

а) Направляющий вектор BC: (4, −3, 0), длина 5. Косинус угла между прямыми вычисляем по модулю скалярного произведения, делённому на произведение длин: |(2, 1.5, −6)·(4, −3, 0)|/(6.5·5) = 3.5/32.5 = 7/65.

б) Направляющий вектор DC: (4, 3, 0), поэтому косинус равен |(2, 1.5, −6)·(4, 3, 0)|/(6.5·5) = 12.5/32.5 = 5/13.

в) Направляющий вектор AC: (1, 0, 0), поэтому косинус равен 2/6.5 = 4/13.

г) Направляющий вектор DB: (0, 1, 0), поэтому косинус равен 1.5/6.5 = 3/13.

Ответ: а) 7/65; б) 5/13; в) 4/13; г) 3/13.