756. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка M лежит на ребре BB₁, причём BM : MB₁ = 3 : 2, а точка N лежит на ребре AD, причём AN : ND = 2 : 3. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью: а) DD₁C₁C; б) A₁B₁C₁D₁.

Обозначим длину ребра куба через a и зададим координаты: A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), D(0, a, 0), A₁(0, 0, a). Из заданных отношений получаем M(a, 0, 3a/5), N(0, 2a/5, 0). Тогда направляющий вектор MN равен (a, −2a/5, 3a/5), а его длина — a√38/5.

Синус угла между прямой и плоскостью равен отношению модуля составляющей направляющего вектора по нормали к плоскости к длине этого вектора.

а) Плоскость DD₁C₁C имеет уравнение y = a, её нормаль параллельна оси y. Нормальная составляющая вектора MN имеет длину 2a/5. Поэтому sin α = (2a/5)/(a√38/5) = 2/√38.

б) Плоскость A₁B₁C₁D₁ имеет уравнение z = a, её нормаль параллельна оси z. Нормальная составляющая вектора MN имеет длину 3a/5. Поэтому sin β = (3a/5)/(a√38/5) = 3/√38.

Ответ: а) 2/√38; б) 3/√38.