76. Решите неравенства: а) \(\log_2(x^2-x-4)<3\); б) \(\log_{\sqrt3-1}(5-2x)>2\); в) \(\lg(x^2-x+8)\ge1\); г) \(\log_{\sqrt7-1}(3-2x)<2\).

а) Область определения: \(x^2-x-4>0\). Так как основание 2 больше 1, получаем \(x^2-x-4<8\), то есть \(x^2-x-12<0\). Объединяя условия, получаем:

Ответ: \(x\in\left(-3,\frac{1-\sqrt{17}}2\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{17}}2,4\right)\).

б) Основание \(\sqrt3-1\) лежит между 0 и 1, поэтому знак неравенства при переходе к аргументам меняется: \(0<5-2x<(\sqrt3-1)^2=4-2\sqrt3\). Отсюда:

Ответ: \(\frac{1+2\sqrt3}{2}

в) Выражение \(x^2-x+8\) положительно при всех действительных \(x\). Поскольку основание десятичного логарифма больше 1, \(x^2-x+8\ge10\), то есть \((x+1)(x-2)\ge0\).

Ответ: \(x\in(-\infty,-1]\cup[2,+\infty)\).

г) Основание \(\sqrt7-1>1\). Поэтому необходимо, чтобы \(0<3-2x<(\sqrt7-1)^2=8-2\sqrt7\).

Ответ: \(\frac{2\sqrt7-5}{2}