Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 762. Сторона равнобедренного треугольника ABC равна a. Найдите: а) |AB⃗ + BC⃗|; б) |AB⃗ + AC⃗|; в) |AB⃗ + CB⃗|; г) |BA⃗ −…Фото задания

Ответ:

Используем правило сложения векторов и то, что в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны. По изображению неясно, какие именно стороны равны; поэтому приведём решения для обоих стандартных вариантов.

Если AB = AC = a (основание BC):

  1. По правилу треугольника \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\), поэтому модуль равен \(a\).
  2. Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) равны по длине и образуют угол \(\angle A\). Их сумма направлена по биссектрисе угла A. Если \(\theta=\angle A\), то модуль суммы равен \(2a\cos(\theta/2)\).
  3. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\). В равнобедренном треугольнике с основанием BC этот модуль равен \(2a\sin(\theta/2)\).
  4. \(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}\), поэтому модуль равен \(a\).
  5. \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\), поэтому модуль равен \(|BC|\), которое из условия не определяется.

Если AB = BC = a (основание AC):

  1. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\), поэтому модуль равен \(|AC|\), которое не определяется.
  2. Пусть \(\theta=\angle B\). Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) образуют угол \(180^\circ-\theta\), а их длины равны \(a\). Следовательно, модуль суммы равен \(2a\sin(\theta/2)\).
  3. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\). Эти два вектора имеют одинаковую длину, а угол между ними равен \(\theta\), поэтому модуль разности равен \(2a\sin(\theta/2)\).
  4. \(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}\), поэтому модуль равен \(|AC|\), которое не определяется.
  5. \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\), поэтому модуль равен \(a\).

В обоих случаях численные значения зависят от того, какие стороны равны, а некоторые ответы требуют длины основания или величины угла, не указанных в условии.