762. Выполните действия: а) (x² − 5x − 14)/(x + 4) · (x² + 7x + 12)/(x − 7); б) 2x/(x² + 8x − 20) − x/((x − 2)(x + 4)); в) (x² + 4x − 77)/(4x + 4) : (x² + 13x + 22)/(2x + 2); г) x/(x² − 6x − 72) + 3/(x² + 3x − 18).

Разложим квадратные трёхчлены на множители, выполним действия с дробями и учтём ограничения исходных выражений.

а) \(x^2-5x-14=(x-7)(x+2)\), \(x^2+7x+12=(x+3)(x+4)\). Тогда \(\dfrac{(x-7)(x+2)}{x+4}\cdot\dfrac{(x+3)(x+4)}{x-7}=(x+2)(x+3)\). Ограничения: \(x\ne-4,\ 7\).

б) \(x^2+8x-20=(x+10)(x-2)\). Приведём дроби к общему знаменателю:

\(\dfrac{2x}{(x+10)(x-2)}-\dfrac{x}{(x-2)(x+4)}=\dfrac{2x(x+4)-x(x+10)}{(x-2)(x+10)(x+4)}\)

\(=\dfrac{x^2-2x}{(x-2)(x+10)(x+4)}=\dfrac{x}{(x+10)(x+4)}\).

Ограничения исходного выражения: \(x\ne2,\ -10,\ -4\).

в) Разложим на множители: \(x^2+4x-77=(x+11)(x-7)\), \(x^2+13x+22=(x+11)(x+2)\), \(4x+4=4(x+1)\), \(2x+2=2(x+1)\). Деление заменим умножением на обратную дробь:

\(\dfrac{(x+11)(x-7)}{4(x+1)}\cdot\dfrac{2(x+1)}{(x+11)(x+2)}=\dfrac{x-7}{2(x+2)}\).

Ограничения: \(x\ne-1\) (знаменатели исходных дробей не равны нулю), также \(x\ne-11,\ -2\) (делитель не должен быть равен нулю).

г) \(x^2-6x-72=(x-12)(x+6)\), \(x^2+3x-18=(x+6)(x-3)\). Складываем дроби:

\(\dfrac{x}{(x-12)(x+6)}+\dfrac{3}{(x+6)(x-3)}=\dfrac{x(x-3)+3(x-12)}{(x-12)(x+6)(x-3)}\)

\(=\dfrac{x^2-36}{(x-12)(x+6)(x-3)}=\dfrac{(x-6)(x+6)}{(x-12)(x+6)(x-3)}=\dfrac{x-6}{(x-12)(x-3)}\).

Ограничения: \(x\ne-6,\ 12,\ 3\).