763. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

Решение:

Задача сводится к подсчёту количества семизначных чисел с различными цифрами, где первая цифра не равна нулю. Всего имеется 10 цифр (от 0 до 9). Телефонный номер является семизначным, и все цифры в нём должны быть различными.

1. Выбор первой цифры: Первая цифра семизначного номера не может быть нулем. Следовательно, для первой цифры есть 9 вариантов выбора (от 1 до 9).
2. Выбор второй цифры: Для второй цифры можно выбрать любую из оставшихся 9 цифр (включая 0, но исключая первую выбранную цифру).
3. Выбор третьей цифры: Для третьей цифры остаётся 8 вариантов выбора (исключая две уже выбранные цифры).
4. Выбор четвертой цифры: Остаётся 7 вариантов.
5. Выбор пятой цифры: Остаётся 6 вариантов.
6. Выбор шестой цифры: Остаётся 5 вариантов.
7. Выбор седьмой цифры: Остаётся 4 варианта.

Общее количество таких телефонных номеров равно произведению количества вариантов для каждой позиции:

\[ 9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \]

Произведём вычисления:

\[ 9 \times (9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4) = 9 \times P(9, 6) \]

Где \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \) — число размещений из \( n \) по \( k \).

\[ P(9, 6) = \frac{9!}{(9-6)!} = \frac{9!}{3!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 60480 \]

Теперь умножим на количество вариантов для первой цифры:

\[ 9 \times 60480 = 544320 \]

Таким образом, существует 544 320 семизначных телефонных номеров с различными цифрами, первая из которых не равна нулю.

Ответ: 544 320.