765. 1) x²-8x+7>0; 4) 5x²+9,5x-1<0; 766. 1) x²-6x+9>0; 4) (1/3)x²+4x+12>0; 767. 1) x²-10x+30<0; 4) 2x²-4x+13>0; 768. 1) (x+3)(x-4)>0; 3) (x-2.3)(x+3.7)<0; 769. 1) (x+2)(x-1)≥0; 3) (x+2)(x-1)²>0; 770. 1) (3-x)/(2+x)≥0; 3) ((x-1)(x+2))/x <0;

Решение неравенств методом интервалов:

765.

• 1) \( x^2 - 8x + 7 > 0 \). Корни уравнения \( x^2 - 8x + 7 = 0 \) находятся по теореме Виета: \( x_1 = 1, x_2 = 7 \). Ветви параболы направлены вверх. Неравенство выполняется при \( x < 1 \) или \( x > 7 \).
• 4) \( 5x^2 + 9.5x - 1 < 0 \). Дискриминант \( D = 9.5^2 - 4 · 5 · (-1) = 90.25 + 20 = 110.25 \). \( \sqrt{D} = 10.5 \). Корни: \( x_1 = \frac{-9.5 - 10.5}{10} = -2 \), \( x_2 = \frac{-9.5 + 10.5}{10} = 0.1 \). Ветви параболы направлены вверх. Неравенство выполняется при \( -2 < x < 0.1 \).

766.

• 1) \( x^2 - 6x + 9 > 0 \). Это \( (x-3)^2 > 0 \). Квадрат любого числа, кроме нуля, положителен. Неравенство выполняется при \( x
  eq 3 \).
• 4) \( \frac{1}{3}x^2 + 4x + 12 > 0 \). Умножим на 3: \( x^2 + 12x + 36 > 0 \). Это \( (x+6)^2 > 0 \). Неравенство выполняется при \( x
  eq -6 \).

767.

• 1) \( x^2 - 10x + 30 < 0 \). Дискриминант \( D = (-10)^2 - 4 · 1 · 30 = 100 - 120 = -20 \). Так как \( D < 0 \) и ветви параболы направлены вверх, парабола всегда выше оси Ox. Следовательно, неравенство \( x^2 - 10x + 30 < 0 \) не имеет решений.
• 4) \( 2x^2 - 4x + 13 > 0 \). Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 · 2 · 13 = 16 - 104 = -88 \). Так как \( D < 0 \) и ветви параболы направлены вверх, парабола всегда выше оси Ox. Следовательно, неравенство \( 2x^2 - 4x + 13 > 0 \) выполняется для всех \( x \in R \).

768.

• 1) \( (x+3)(x-4) > 0 \). Корни: \( x = -3 \) и \( x = 4 \). Ветви параболы направлены вверх. Неравенство выполняется при \( x < -3 \) или \( x > 4 \).
• 3) \( (x-2.3)(x+3.7) < 0 \). Корни: \( x = 2.3 \) и \( x = -3.7 \). Ветви параболы направлены вверх. Неравенство выполняется при \( -3.7 < x < 2.3 \).

769.

• 1) \( (x+2)(x-1) ≥ 0 \). Корни: \( x = -2 \) и \( x = 1 \). Ветви параболы направлены вверх. Неравенство выполняется при \( x ≤ -2 \) или \( x ≥ 1 \).
• 3) \( (x+2)(x-1)^2 > 0 \). Корни: \( x = -2 \) (кратность 1) и \( x = 1 \) (кратность 2). Ветви параболы направлены вверх. Неравенство выполняется при \( x > -2 \) и \( x
  eq 1 \).

770.

• 1) \( \frac{3-x}{2+x} ≥ 0 \). Корни числителя: \( x = 3 \). Корень знаменателя: \( x = -2 \). Метод интервалов: \( (-∞, -2) ∪ [-2, 3] ∪ (3, ∞) \). Знаки: \( - — + — - \). Неравенство выполняется при \( -2 < x ≤ 3 \).
• 3) \( \frac{(x-1)(x+2)}{x} < 0 \). Корни числителя: \( x = 1 \) и \( x = -2 \). Корень знаменателя: \( x = 0 \). Метод интервалов: \( (-∞, -2) ∪ [-2, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, ∞) \). Знаки: \( - — + - + \). Неравенство выполняется при \( x < -2 \) или \( 0 < x < 1 \).