765 На полуокружности АВ взяты точки С и D так, что дуга АС = 37°, дуга BD = 23°. Найдите хорду CD, если радиус окружности равен 15 см.

Решение задачи №765

Дано:

• Полуокружность AB.
• Точки C и D на полуокружности.
• Дуга AC = 37°.
• Дуга BD = 23°.
• Радиус окружности R = 15 см.

Найти: Длину хорды CD.

Решение:

1. Сначала найдем меру дуги CD. Поскольку точки C и D находятся на полуокружности AB, то общая дуга AB составляет 180°.
2. Дуга CD = Дуга AB - Дуга AC - Дуга BD = 180° - 37° - 23° = 180° - 60° = 120°.
3. Теперь найдем длину хорды CD. Хорда, стягивающая дугу в 120°, связана с радиусом окружности формулой: \[ CD = 2R              \( \sin(\frac{\alpha}{2}) \) \)
4. где R — радиус окружности, а \( \alpha \) — градусная мера дуги, которую стягивает хорда.
5. Подставим известные значения: \( \alpha = 120° \), \( R = 15 \) см.
6. \( \frac{\alpha}{2} = \frac{120°}{2} = 60° \).
7. \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
8. Теперь вычислим длину хорды CD: \[ CD = 2  15  \frac{\sqrt{3}}{2} \]
9. \( CD = 30  \frac{\sqrt{3}}{2} \)
10. \( CD = 15\sqrt{3} \) см.

Ответ: Хорда CD равна 15√3 см.