765. Пусть X, Y и Z — произвольные точки. Докажите, что векторы $\vec p=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{ZX}+\overrightarrow{YZ}$, $\vec q=(\overrightarrow{XY}-\overrightarrow{XZ})+\overrightarrow{YZ}$ и $\vec r=(\overrightarrow{ZY}-\overrightarrow{XY})-\overrightarrow{ZX}$ нулевые.

Question

Вопрос: $Фото задания: 765. Пусть X, Y и Z — произвольные точки. Докажите, что векторы \(\vec…$ Фото задания

Accepted Answer

Используем правило сложения векторов: сумма векторов, образующих замкнутую ломаную, равна нулевому вектору.

Для вектора $\vec p$:
\[\vec p=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}+\overrightarrow{ZX}=\vec 0.\]
Действительно, переходы $X\to Y$, $Y\to Z$, $Z\to X$ образуют замкнутый маршрут.
Для вектора $\vec q$:
\[\begin{aligned}\vec q&=(\overrightarrow{XY}-\overrightarrow{XZ})+\overrightarrow{YZ}\\&=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{ZX}+\overrightarrow{YZ}\\&=\vec 0,\end{aligned}\]
так как $-\overrightarrow{XZ}=\overrightarrow{ZX}$.
Для вектора $\vec r$:
\[\begin{aligned}\vec r&=(\overrightarrow{ZY}-\overrightarrow{XY})-\overrightarrow{ZX}\\&=\overrightarrow{ZY}+\overrightarrow{YX}+\overrightarrow{XZ}\\&=\vec 0,\end{aligned}\]
так как $-\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{YX}$ и $-\overrightarrow{ZX}=\overrightarrow{XZ}$. Здесь также получилась сумма векторов замкнутой ломаной $Z\to Y\to X\to Z$.

Ответ: $\vec p=\vec q=\vec r=\vec 0$.