77. а) Докажите, что угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, одна из которых расположена внутри этого угла, а другая — внутри угла, вертикального данному. б) Найдите величину угла AMD (рис. 34), если ⌒AC = 120°, ⌒BD = 130°.

а) Пусть хорды пересекаются в точке M, а угол с вершиной M образован лучами MA и MD. Через M проведём прямую, параллельную одной из хорд. Получившиеся углы связаны с вписанными углами и равны половинам соответствующих дуг. Складывая эти углы, получаем, что угол с вершиной внутри круга равен полусумме дуг, лежащих внутри этого угла и вертикального ему.

Итак, для пересекающихся внутри круга хорд величина угла равна половине суммы дуг, заключённых между сторонами этого угла и сторонами вертикального угла.

б) Для угла AMD нужные дуги — AD и CB. Вместе с дугами AC и BD они составляют всю окружность:

⌒AD + ⌒CB = 360° − 120° − 130° = 110°.

По доказанному правилу:

∠AMD = (⌒AD + ⌒CB) / 2 = 110° / 2 = 55°.

Ответ: 55°.