77. Известны расстояние между прожекторами l, значения углов α и β. Как, пользуясь полученными данными, рассчитать высоту облака h над поверхностью Земли? Сделайте это двумя способами.

Обозначим через \(b\) сторону треугольника от левого прожектора до точки на облаке. Третий угол треугольника равен \(180^\circ-\alpha-\beta\).

Способ 1.

1. По теореме синусов: \(b=\frac{l\sin\beta}{\sin(180^\circ-\alpha-\beta)}\).

2. Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту: \(S_\triangle=\frac12 lh\). Также, по двум сторонам и углу между ними, \(S_\triangle=\frac12 lb\sin\alpha\).

3. Приравниваем выражения для площади: \(\frac12 lh=\frac12 lb\sin\alpha\), откуда \(h=b\sin\alpha\).

4. Подставляем найденное значение \(b\): \(h=\frac{l\sin\alpha\sin\beta}{\sin(180^\circ-\alpha-\beta)}\).

Способ 2.

1. По теореме синусов: \(b=\frac{l\sin\beta}{\sin(180^\circ-\alpha-\beta)}\).

2. Из прямоугольного треугольника высота облака равна \(h=b\sin\alpha\).

3. Подставляем выражение для \(b\): \(h=\frac{l\sin\alpha\sin\beta}{\sin(180^\circ-\alpha-\beta)}\).

Оба способа дают одну и ту же формулу высоты.