77. Одним из важных параметров, определяющих возможность прогнозирования опасных погодных явлений, служит высота нижней границы облаков над поверхностью Земли. При профессиональных исследованиях измерения проводятся с помощью специальных приборов. Есть и более доступный способ. Для этого установим два прожектора на определённом расстоянии друг от друга; затем направим лучи от этих прожекторов на облако так, чтобы они пересеклись в одной точке (увидим совпавшее световое пятно). Далее подручными средствами измерим углы между направлениями на световое пятно и на другой прожектор. Таким образом, нам известны расстояние между прожекторами l, значения двух углов α и β. Как, пользуясь полученными данными, рассчитать высоту облака h над поверхностью Земли? Сделайте это двумя способами. На рисунке: основание треугольника l, углы у основания α и β, левая наклонная сторона b, высота h.

Обозначим третий угол треугольника через \(\gamma = 180° - \alpha - \beta\). Левая наклонная сторона равна b, основание — l, а высота h опущена на основание.

Способ 1 — через площадь треугольника.

1. По теореме синусов: \(\frac{b}{\sin\beta} = \frac{l}{\sin\gamma}\), поэтому \(b = \frac{l\sin\beta}{\sin(180°-\alpha-\beta)}\).
2. Площадь можно выразить двумя способами: \(S = \frac12 lh\) и \(S = \frac12 lb\sin\alpha\).
3. Приравниваем выражения для площади: \(\frac12 lh = \frac12 lb\sin\alpha\), откуда \(h = b\sin\alpha\).
4. Подставляем выражение для b: \(h = \frac{l\sin\alpha\sin\beta}{\sin(180°-\alpha-\beta)}\).

Способ 2 — через теорему синусов и высоту.

1. Сначала находим наклонную сторону: \(b = \frac{l\sin\beta}{\sin(180°-\alpha-\beta)}\).
2. В прямоугольном треугольнике \(h = b\sin\alpha\).
3. Подставляем b: \(h = \frac{l\sin\alpha\sin\beta}{\sin(180°-\alpha-\beta)}\).

Оба способа дают одну формулу для высоты облака.