77. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 16 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите высоту трапеции.

Пусть основания равнобокой трапеции равны 16 см и 10 см. Разность оснований поровну распределяется по краям: горизонтальное смещение каждой боковой стороны равно \((16-10)/2=3\) см.

Расположим трапецию так, чтобы длинное основание было снизу. Из-за равнобокости можно задать координаты вершин: \(A(-8,0)\), \(B(8,0)\), \(D(-5,h)\), \(C(5,h)\). Тогда направляющие векторы диагоналей \(AC\) и \(BD\) равны \((13,h)\) и \((-13,h)\).

Перпендикулярность диагоналей означает, что их скалярное произведение равно нулю: \((13,h)\cdot(-13,h)=-169+h^2=0\). Поэтому \(h^2=169\), а так как высота положительна, \(h=13\).

Ответ: 13 см.