77. Разложите на множители квадратный трёхчлен: a) 2x² - 2x + 1/2; б) -9x² + 12x - 4; в) 16а² + 24а + 9; г) 0,25m² - 2m + 4.

Решение:

Для разложения квадратного трёхчлена на множители будем использовать формулу квадрата суммы \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) и квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \), а также общие множители.

1. а) 2x² - 2x + 1/2
   Вынесем общий множитель 2: \( 2(x^2 - x + 1/4) \).
   Выражение в скобках является квадратом разности \( (x - 1/2)^2 \), так как \( x^2 \) — квадрат \( x \), \( 1/4 \) — квадрат \( 1/2 \), а \( 2 \cdot x \cdot 1/2 = x \).
   Таким образом, \( 2(x - 1/2)^2 \).
2. б) -9x² + 12x - 4
   Вынесем общий множитель -1: \( -(9x² - 12x + 4) \).
   Выражение в скобках является квадратом разности \( (3x - 2)^2 \), так как \( 9x^2 \) — квадрат \( 3x \), \( 4 \) — квадрат \( 2 \), а \( 2 \cdot 3x \cdot 2 = 12x \).
   Таким образом, \( -(3x - 2)^2 \).
3. в) 16а² + 24а + 9
   Это квадрат суммы \( (4a + 3)^2 \), так как \( 16a^2 \) — квадрат \( 4a \), \( 9 \) — квадрат \( 3 \), а \( 2 \cdot 4a \cdot 3 = 24a \).
   Таким образом, \( (4a + 3)^2 \).
4. г) 0,25m² - 2m + 4
   Представим числа в виде квадратов: \( 0.25m^2 = (0.5m)^2 \) и \( 4 = 2^2 \).
   Проверим средний член: \( 2 \cdot (0.5m) \cdot 2 = 2m \).
   Таким образом, это квадрат разности \( (0.5m - 2)^2 \).

Ответ: а) \( 2(x - 1/2)^2 \); б) \( -(3x - 2)^2 \); в) \( (4a + 3)^2 \); г) \( (0.5m - 2)^2 \).