№ 7764. Решить неравенство: \(\dfrac{\lg(5y^2-2y+1)}{\lg(4y^2-5y+1)^3}\leq\dfrac{\log_5 7}{\log_5 7}\).

Правая часть равна 1. Обозначим \(A=5y^2-2y+1\), \(B=4y^2-5y+1\). Заметим, что \(A>0\) при всех \(y\), поскольку дискриминант квадратного трёхчлена отрицателен. В знаменателе понимаем запись как \(\lg(B^3)=3\lg B\).

Область определения: \(B>0\) и \(B\ne1\), так как логарифм в знаменателе должен быть определён и не равен нулю. При \(0

При \(B>1\) знаменатель положителен; применяя монотонность логарифма, получаем равносильное условие \(A\le B^3\). На области \(B>1\) это выполняется при \(y<0\) и при \(y\ge\alpha\), где \(\alpha\) — единственный корень уравнения \((4y^2-5y+1)^3=5y^2-2y+1\) на промежутке \((\frac54,+\infty)\) (приблизительно \(\alpha\approx1.37\)).

Ответ: \((-,0)\cup(0,\frac14)\cup(1,\frac54)\cup[\alpha,+\infty)\), где \(\alpha\approx1.37\) — указанный корень.