777. Докажите, что при всех допустимых значениях α выражение принимает одно и то же значение: а) (sin α + cos α)² − 2 sin α cos α; б) sin⁴ α + cos⁴ α + 2 sin² α cos² α; в) (2 − sin² α − cos² α)/(3 sin² α + 3 cos² α); г) (sin⁴ α − cos⁴ α)/(sin² α − cos² α).

Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

1. \((\sin\alpha+\cos\alpha)^2-2\sin\alpha\cos\alpha=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

2. \(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha+2\sin^2\alpha\cos^2\alpha=(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2=1^2=1\).

3. \(\dfrac{2-\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}{3\sin^2\alpha+3\cos^2\alpha}=\dfrac{2-(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)}{3(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)}=\dfrac{2-1}{3\cdot1}=\dfrac13\).

   Знаменатель равен \(3\), поэтому он не обращается в ноль.

4. При \(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha\ne0\):

   \(\dfrac{\sin^4\alpha-\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}=\dfrac{(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)}{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

Ответ: а) \(1\); б) \(1\); в) \(\dfrac13\); г) \(1\).