78. а) Докажите, что угол, вершина которого расположена вне окружности, а каждая сторона является секущей окружности, измеряется полуразностью дуг, заключённых внутри угла. б) Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 28°. Меньшая дуга окружности, заключённая между сторонами угла, равна 36°. Найдите большую дугу, заключённую между сторонами угла.

а) Пусть из точки P вне окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в ближних точках A и C и дальних точках B и D. Соединим A и D. Угол BAD — внешний угол треугольника PAD, поэтому ∠P = ∠BAD − ∠ADP. По свойству вписанного угла ∠BAD = ⌒BD / 2, а ∠ADP = ⌒AC / 2. Следовательно, ∠P = (⌒BD − ⌒AC) / 2: внешний угол равен полуразности большей и меньшей дуг, заключённых внутри него.

б) Пусть большая дуга равна x°. По правилу для угла с вершиной вне окружности:

28° = (x° − 36°) / 2.

x° − 36° = 56°, поэтому x = 92.

Ответ: большая дуга равна 92°.