78 Докажите, что P(A∩B) ≤ P(A) и P(A∩B) ≤ P(B).

Решение:

Для доказательства неравенств \( P(A ∩ B) ≤ P(A) \) и \( P(A ∩ B) ≤ P(B) \), вспомним основные свойства вероятностей:

1. Вероятность любого события не может быть отрицательной: \( P(E) ≥ 0 \) для любого события E.
2. Вероятность достоверного события равна 1: \( P(Ω) = 1 \), где \( Ω \) — пространство элементарных исходов.
3. Если событие \( A \) является подмножеством события \( B \) (то есть \( A ⊆ B \)), то \( P(A) ≤ P(B) \).

Рассмотрим события \( A \) и \( B \) на пространстве элементарных исходов \( Ω \).

Пересечение событий \( A ∩ B \) означает, что произошло и событие \( A \), и событие \( B \). Если элемент пространства элементарных исходов принадлежит \( A ∩ B \), то он также принадлежит и \( A \), и \( B \) по отдельности.

Следовательно, множество \( A ∩ B \) является подмножеством множества \( A \) ( \( A ∩ B ⊆ A \) ) и подмножеством множества \( B \) ( \( A ∩ B ⊆ B \) ).

Исходя из свойства 3, если \( A ∩ B ⊆ A \), то \( P(A ∩ B) ≤ P(A) \).

Аналогично, если \( A ∩ B ⊆ B \), то \( P(A ∩ B) ≤ P(B) \).

Таким образом, доказано, что вероятность пересечения двух событий всегда меньше или равна вероятности каждого из этих событий.

Ответ: Доказано, что \( P(A ∩ B) ≤ P(A) \) и \( P(A ∩ B) ≤ P(B) \).