78. Постройте график функции \(y=-5-\dfrac{x-2}{x^2-2x}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) не имеет с графиком общих точек.

Область определения: \(x\ne 0\) и \(x\ne 2\). При этих ограничениях дробь сокращается:

\[y=-5-\frac{x-2}{x(x-2)}=-5-\frac1x.\]

Это график гиперболы \(y=-5-\frac1x\), из которого исключена точка при \(x=2\): \(y=-5-\frac12=-\frac{11}{2}\). Асимптоты графика: \(x=0\) и \(y=-5\); выколотая точка — \(\left(2,-\frac{11}{2}\right)\).

Чтобы найти пересечения с прямой \(y=m\), решим уравнение \(m=-5-\frac1x\). Значение \(m=-5\) невозможно, поскольку \(-\frac1x\ne0\). При любом другом \(m\) получается \(x=-\frac1{m+5}\), но значение \(m=-\frac{11}{2}\) даёт исключённое \(x=2\). Поэтому общих точек нет при \(m=-5\) и \(m=-\frac{11}{2}\).

График функции:

Ответ: \(m=-5\) или \(m=-\frac{11}{2}\).