78. Преобразуйте выражение: а) $\ctg\beta-\frac{\cos\beta-1}{\sin\beta}$; б) $\frac{1}{\sin\alpha-1}-\frac{1}{1+\sin\alpha}$; в) $\frac{1-\ctg\gamma}{ g\gamma-1}$; г) $\frac{\sin^2\alpha-1}{\cos^2\alpha-1}+ g\alpha\ctg\alpha$; д) $ g^2\beta(\sin^2\beta-1)$; е) $\cos^2\alpha-(\ctg^2\alpha+1)\sin^2\alpha$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 78. Преобразуйте выражение: а) $\ctg\beta-\frac{\cos\beta-1}{\sin\beta}$; б)…$ Фото задания

78. Преобразуйте выражение: а) $\ctg\beta-\frac{\cos\beta-1}{\sin\beta}$; б) $\frac{1}{\sin\alpha-1}-\frac{1}{1+\sin\alpha}$; в) $\frac{1-\ctg\gamma}{ g\gamma-1}$; г) $\frac{\sin^2\alpha-1}{\cos^2\alpha-1}+ g\alpha\ctg\alpha$; д) $ g^2\beta(\sin^2\beta-1)$; е) $\cos^2\alpha-(\ctg^2\alpha+1)\sin^2\alpha$.

Accepted Answer

а) Используем $\ctg\beta=\frac{\cos\beta}{\sin\beta}$: $\ctg\beta-\frac{\cos\beta-1}{\sin\beta}=\frac{\cos\beta-(\cos\beta-1)}{\sin\beta}=\frac{1}{\sin\beta}$.
б) Приводим к общему знаменателю: $\frac{1}{\sin\alpha-1}-\frac{1}{1+\sin\alpha}=\frac{(1+\sin\alpha)-(\sin\alpha-1)}{(\sin\alpha-1)(1+\sin\alpha)}=\frac{2}{\sin^2\alpha-1}=-\frac{2}{\cos^2\alpha}$.
в) Поскольку $\ctg\gamma=\frac{1}{ g\gamma}$, получаем $\frac{1-\ctg\gamma}{ g\gamma-1}=\frac{1-1/ g\gamma}{ g\gamma-1}=\frac{1}{ g\gamma}=\ctg\gamma$.
г) По основному тригонометрическому тождеству: $\frac{\sin^2\alpha-1}{\cos^2\alpha-1}+ g\alpha\ctg\alpha=\frac{-\cos^2\alpha}{-\sin^2\alpha}+1=\ctg^2\alpha+1=\frac{1}{\sin^2\alpha}$.
д) Так как $\sin^2\beta-1=-\cos^2\beta$, то $ g^2\beta(\sin^2\beta-1)=-\frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}\cos^2\beta=-\sin^2\beta$.
е) Используем $\ctg^2\alpha+1=\frac{1}{\sin^2\alpha}$: $\cos^2\alpha-(\ctg^2\alpha+1)\sin^2\alpha=\cos^2\alpha-1=-\sin^2\alpha$.

Ответ: а) $\frac{1}{\sin\beta}$; б) $-\frac{2}{\cos^2\alpha}$; в) $\ctg\gamma$; г) $\frac{1}{\sin^2\alpha}$; д) $-\sin^2\beta$; е) $-\sin^2\alpha$.