78. В трапеции ABCD основания BC и AD соответственно равны 6 см и 14 см. Через точку F — середину боковой стороны AB — проведена прямая, пересекающая основание AD в точке K так, что AK = 4 см. Найдите сторону CD, если FK = 7 см.

Поскольку \(F\) — середина боковой стороны \(AB\), расстояние от неё до основания \(AD\) равно половине высоты трапеции. Отрезок от точки \(F\) до основания, параллельный основаниям, имел бы длину средней линии \((6+14)/2=10\) см. Точка \(K\) находится на основании и \(AK=4\) см, поэтому горизонтальное смещение от такого конца средней линии до \(K\) равно \(10-4=6\) см.

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(FK=7\) см один катет равен 6 см, а второй — половине высоты трапеции. По теореме Пифагора эта половина высоты равна \(\sqrt{7^2-6^2}=\sqrt{13}\) см, следовательно, высота трапеции равна \(2\sqrt{13}\) см.

Горизонтальное смещение между концами боковой стороны \(CD\) равно разности оснований, то есть \(14-6=8\) см. Снова применяя теорему Пифагора, получаем \(CD=\sqrt{8^2+(2\sqrt{13})^2}=\sqrt{64+52}=\sqrt{116}=2\sqrt{29}\) см.

Ответ: \(2\sqrt{29}\) см.