78. Вписанная в треугольник АВС окружность касается его сторон в точках К, Р, Т (рис. 231). Докажите, что: 1) AP + CK + BT = AT + BK + CP; 2) BK = 0,5 (AB + BC - AC).

Решение:

Задача посвящена свойствам вписанной окружности в треугольник. Точки касания делят стороны треугольника на отрезки, и нам нужно доказать два равенства, связанных с длинами этих отрезков.

1. Доказательство равенства AP + CK + BT = AT + BK + CP

• Свойство касательных: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
• В нашем случае:
• Из точки А к окружности проведены касательные АТ и АР. Значит, АТ = АР.
• Из точки В к окружности проведены касательные ВТ и ВК. Значит, ВТ = ВК.
• Из точки С к окружности проведены касательные СК и СР. Значит, СК = СР.
• Теперь подставим эти равенства в левую часть первого уравнения:
• AP + CK + BT = AP + CP + BT (заменили CK на CP)
• AP + CK + BT = AT + BK + BT (заменили AP на AT)
• AP + CK + BT = AT + BK + CP (заменили BT на BK)
• Таким образом, мы получили равенство AT + BK + CP, что и требовалось доказать.

2. Доказательство равенства BK = 0,5 (AB + BC - AC)

• Вспомним, что AB = AP + PB, BC = BK + KC, AC = AP + PC.
• Из первого пункта мы знаем, что AT = AP, BT = BK, CK = CP.
• Тогда:
• AB = AT + BT
• BC = BK + CK
• AC = AP + CP
• Теперь сложим длины сторон AB и BC:
• AB + BC = (AT + BT) + (BK + CK)
• AB + BC = AT + BK + BT + CK
• Теперь вычтем длину стороны AC:
• AB + BC - AC = (AT + BK + BT + CK) - (AP + CP)
• Учитывая, что AT = AP и BT = BK, CK = CP:
• AB + BC - AC = (AP + BK + BK + CP) - (AP + CP)
• AB + BC - AC = AP + 2*BK + CP - AP - CP
• AB + BC - AC = 2*BK
• Разделим обе части на 2:
• (AB + BC - AC) / 2 = BK
• BK = 0,5 * (AB + BC - AC)
• Это и есть второе равенство, которое требовалось доказать.