786. Отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ — медианы треугольника ABC. Выразите векторы \(\overrightarrow{AA_1}\), \(\overrightarrow{BB_1}\), \(\overrightarrow{CC_1}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AC}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AB}\).

Пусть точка A является началом отсчёта. Тогда радиус-векторы вершин равны: \(\overrightarrow{AB}=\vec b\), \(\overrightarrow{AC}=\vec a\).

1. Точка A₁ — середина BC, поэтому её радиус-вектор равен \(\frac{\vec a+\vec b}{2}\). Следовательно, \(\overrightarrow{AA_1}=\frac{\vec a+\vec b}{2}\).
2. Точка B₁ — середина AC, поэтому \(\overrightarrow{AB_1}=\frac{\vec a}{2}\). Тогда \(\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{AB_1}-\overrightarrow{AB}=\frac{\vec a}{2}-\vec b\).
3. Точка C₁ — середина AB, поэтому \(\overrightarrow{AC_1}=\frac{\vec b}{2}\). Тогда \(\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{AC_1}-\overrightarrow{AC}=\frac{\vec b}{2}-\vec a\).

Ответ: \(\overrightarrow{AA_1}=\frac{\vec a+\vec b}{2},\quad \overrightarrow{BB_1}=\frac{\vec a}{2}-\vec b,\quad \overrightarrow{CC_1}=\frac{\vec b}{2}-\vec a\).