790 Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Введем обозначения. Пусть $$ABCD$$ — трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ ($$AD > BC$$). $$O$$ и $$P$$ — середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ соответственно.
2. Шаг 2: Рассмотрим треугольник $$ABC$$. $$O$$ — середина $$AC$$. Проведем через $$O$$ прямую, параллельную $$BC$$. По теореме Фалеса (обратной), эта прямая пересечет $$AB$$ в её середине.
3. Шаг 3: Рассмотрим треугольник $$ABD$$. $$P$$ — середина $$BD$$. Проведем через $$P$$ прямую, параллельную $$AD$$. По теореме Фалеса (обратной), эта прямая пересечет $$AB$$ в её середине.
4. Шаг 4: Отсюда следует, что прямые, проходящие через $$O$$ параллельно $$BC$$ и через $$P$$ параллельно $$AD$$, совпадают, так как обе проходят через середину $$AB$$ и параллельны основаниям. Следовательно, отрезок $$OP$$ параллелен основаниям $$AD$$ и $$BC$$.
5. Шаг 5: Теперь докажем равенство полуразности. Пусть $$M$$ — середина $$AB$$. Тогда $$OM$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, параллельная $$BC$$ и равная $$\frac{1}{2}BC$$. $$PM$$ — средняя линия треугольника $$ABD$$, параллельная $$AD$$ и равная $$\frac{1}{2}AD$$.
6. Шаг 6: Так как $$O$$, $$P$$, $$M$$ лежат на одной прямой, то $$OP = |PM - OM| = |\frac{1}{2}AD - \frac{1}{2}BC| = \frac{1}{2}|AD - BC|$$. Если $$AD > BC$$, то $$OP = \frac{AD - BC}{2}$$.

Таким образом, отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.