791 Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Краткое пояснение:

• Для того чтобы доказать, что параллелограмм является прямоугольником, если вокруг него можно описать окружность, мы будем использовать свойство вписанного четырехугольника, а именно — сумму противоположных углов.

Пошаговое решение:

1. Свойство вписанного четырехугольника: Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.
2. Свойства параллелограмма: В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна 180°.
3. Доказательство: Пусть дан параллелограмм ABCD, вокруг которого можно описать окружность.
• Согласно свойству вписанного четырехугольника:
• \[ \angle A + \angle C = 180° \]
• \[ \angle B + \angle D = 180° \]
• Согласно свойствам параллелограмма:
• \[ \angle A = \angle C \]
• \[ \angle B = \angle D \]
• Подставим равенства из свойств параллелограмма в уравнения для вписанного четырехугольника:
• \[ \angle A + \angle A = 180° \Rightarrow 2\angle A = 180° \Rightarrow \angle A = 90° \]
• \[ \angle B + \angle B = 180° \Rightarrow 2\angle B = 180° \Rightarrow \angle B = 90° \]
• Так как \[ \angle A = \angle C \] и \[ \angle B = \angle D \], то все углы параллелограмма равны 90°.
• Параллелограмм, у которого все углы прямые, является прямоугольником.

Ответ: Доказано.