791 Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим произвольный четырёхугольник $$ABCD$$. Пусть $$P, Q, R, S$$ — середины сторон $$AB, BC, CD, DA$$ соответственно.
2. Шаг 2: Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Отрезок $$PQ$$ соединяет середины сторон $$AB$$ и $$BC$$. Следовательно, $$PQ$$ является средней линией треугольника $$ABC$$, и $$PQ ∥ AC$$ и $$PQ = ½ AC$$.
3. Шаг 3: Рассмотрим треугольник $$ADC$$. Отрезок $$SR$$ соединяет середины сторон $$DA$$ и $$CD$$. Следовательно, $$SR$$ является средней линией треугольника $$ADC$$, и $$SR ∥ AC$$ и $$SR = ½ AC$$.
4. Шаг 4: Из шагов 2 и 3 следует, что $$PQ ∥ SR$$ и $$PQ = SR$$. Это означает, что четырёхугольник $$PQRS$$ является параллелограммом.
5. Шаг 5: Аналогично, рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$BCD$$. Отрезки $$PS$$ и $$QR$$ являются средними линиями этих треугольников соответственно. $$PS ∥ BD$$ и $$PS = ½ BD$$. $$QR ∥ BD$$ и $$QR = ½ BD$$.
6. Шаг 6: Из этого следует, что $$PS ∥ QR$$ и $$PS = QR$$.
7. Шаг 7: Так как $$PQRS$$ — параллелограмм, его диагонали $$PR$$ и $$QS$$ пересекаются в точке, которая делит их пополам. Отрезки $$PR$$ и $$QS$$ соединяют середины противоположных сторон исходного четырёхугольника $$ABCD$$.

Следовательно, отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.