797 В одной системе координат построите графики функций y = f(x) и y = g(x) и определите значения x, при которых f(x) = g(x); f(x) > g(x); f(x) < g(x): a) f(x) = 2x - 5, g(x) = 1/2*x + 1; б) f(x) = x + 3, g(x) = -1/3*x.

Построение графиков и решение неравенств

Для решения этой задачи нам нужно построить графики двух линейных функций в одной системе координат и затем определить интервалы, где одна функция больше, меньше или равна другой.

а) f(x) = 2x - 5, g(x) = 1/2*x + 1

1. Находим точку пересечения f(x) = g(x):

Приравниваем функции: 2x - 5 = 1/2*x + 1

Переносим члены с x в одну сторону, а константы в другую: 2x - 1/2*x = 1 + 5

Приводим к общему знаменателю: 4/2*x - 1/2*x = 6

3/2*x = 6

Находим x: x = 6 * (2/3) x = 4

Теперь найдем соответствующее значение y, подставив x=4 в любую из функций:

f(4) = 2*4 - 5 = 8 - 5 = 3

g(4) = 1/2*4 + 1 = 2 + 1 = 3

Точка пересечения графиков: (4, 3).

2. Определяем интервалы f(x) > g(x) и f(x) < g(x):

Функция f(x) = 2x - 5 имеет больший наклон (2 > 1/2), поэтому она будет выше g(x) для всех x правее точки пересечения.

• f(x) > g(x), когда x > 4.
• f(x) < g(x), когда x < 4.

График: Постройте оси координат. Отметьте точку (4, 3). Для f(x) = 2x - 5, найдите еще одну точку, например, при x=0, y=-5 (точка (0, -5)). Соедините эти точки прямой. Для g(x) = 1/2*x + 1, найдите еще одну точку, например, при x=0, y=1 (точка (0, 1)). Соедините эти точки прямой. График f(x) будет более крутой и пройдет ниже графика g(x) слева от точки (4, 3), и выше — справа.

б) f(x) = x + 3, g(x) = -1/3*x

1. Находим точку пересечения f(x) = g(x):

Приравниваем функции: x + 3 = -1/3*x

Переносим члены с x в одну сторону: x + 1/3*x = -3

Приводим к общему знаменателю: 3/3*x + 1/3*x = -3

4/3*x = -3

Находим x: x = -3 * (3/4) x = -9/4 или x = -2.25

Теперь найдем соответствующее значение y:

f(-9/4) = -9/4 + 3 = -9/4 + 12/4 = 3/4

g(-9/4) = -1/3 * (-9/4) = 9/12 = 3/4

Точка пересечения графиков: (-2.25, 0.75).

2. Определяем интервалы f(x) > g(x) и f(x) < g(x):

Функция f(x) = x + 3 имеет положительный наклон (1), а g(x) = -1/3*x имеет отрицательный наклон (-1/3). Следовательно, f(x) будет выше g(x) для всех x правее точки пересечения.

• f(x) > g(x), когда x > -9/4 (или x > -2.25).
• f(x) < g(x), когда x < -9/4 (или x < -2.25).

График: Постройте оси координат. Отметьте точку (-2.25, 0.75). Для f(x) = x + 3, найдите еще одну точку, например, при x=0, y=3 (точка (0, 3)). Соедините эти точки прямой. Для g(x) = -1/3*x, это прямая, проходящая через начало координат (0, 0) и имеющая отрицательный наклон. Соедините точки (0,0) и (-2.25, 0.75) прямой. График f(x) будет подниматься справа налево, а график g(x) — опускаться справа налево.