7cos(x) + 4√3sin(x) x cos(x) - 4 cos³(x) = 0

Решение:

Заданное уравнение:

\( 7\cos(x) + 4\sqrt{3}\sin(x)\cos(x) - 4\cos^3(x) = 0 \)

Разделим обе части уравнения на \( \cos^3(x) \), предполагая, что \( \cos(x) \neq 0 \).

\( \frac{7\cos(x)}{\cos^3(x)} + \frac{4\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)}{\cos^3(x)} - \frac{4\cos^3(x)}{\cos^3(x)} = 0 \)

\( \frac{7}{\cos^2(x)} + \frac{4\sqrt{3}\sin(x)}{\cos^2(x)} - 4 = 0 \)

Используем основное тригонометрическое тождество \( \frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x) \) и \( \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \tan(x) \cdot \frac{1}{\cos(x)} \). Но проще будет использовать \( \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \tan(x) \cdot \sec(x) \) или выразить все через \( \tan(x) \).

Запишем уравнение через \( \sec^2(x) = 1 + \tan^2(x) \) и \( \sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) \).

Альтернативный подход: разделим на \( \cos(x) \), если \( \cos(x) \neq 0 \).

\( 7 + 4\sqrt{3}\sin(x) - 4\cos^2(x) = 0 \)

Используем \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \).

\( 7 + 4\sqrt{3}\sin(x) - 4(1 - \sin^2(x)) = 0 \)

\( 7 + 4\sqrt{3}\sin(x) - 4 + 4\sin^2(x) = 0 \)

\( 4\sin^2(x) + 4\sqrt{3}\sin(x) + 3 = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( \sin(x) \). Пусть \( y = \sin(x) \).

\( 4y^2 + 4\sqrt{3}y + 3 = 0 \)

Дискриминант \( D = (4\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 - 16 \cdot 3 = 48 - 48 = 0 \).

Так как \( D = 0 \), уравнение имеет один корень:

\( y = \frac{-4\sqrt{3}}{2 \cdot 4} = \frac{-4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Следовательно, \( \sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Решения этого уравнения:

\( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \) или \( x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Проверим, что \( \cos(x) \neq 0 \) для этих решений.

Если \( x = -\frac{\pi}{3} \), то \( \cos(x) = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \neq 0 \).

Если \( x = \frac{4\pi}{3} \), то \( \cos(x) = \cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \neq 0 \).

Таким образом, \( \cos(x) \neq 0 \) для всех найденных решений.

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \) или \( x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).