8^{1/2} \(\sqrt{2x+3}\) = x

Решение:

Запишем уравнение: \( \sqrt{8} \sqrt{2x+3} = x \)

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{8} \sqrt{2x+3})^2 = x^2 \)
2. Упростим: \( 8(2x+3) = x^2 \)
3. Раскроем скобки: \( 16x + 24 = x^2 \)
4. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 16x - 24 = 0 \)
5. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 256 + 96 = 352 \)
6. Найдём корни уравнения: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{352}}{2} \)
7. Упростим корень: \( \sqrt{352} = \sqrt{16 \cdot 22} = 4\sqrt{22} \)
8. Подставим обратно: \( x = \frac{16 \pm 4\sqrt{22}}{2} \)
9. Сократим дробь: \( x = 8 \pm 2\sqrt{22} \)
10. Проверим корни:
• При \( x = 8 + 2\sqrt{22} \) (приблизительно \( 8 + 2 \cdot 4.69 = 17.38 \)), \( 2x+3 > 0 \), \( x > 0 \). Это решение подходит.
• При \( x = 8 - 2\sqrt{22} \) (приблизительно \( 8 - 9.38 = -1.38 \)), \( x < 0 \). Так как \( \sqrt{8} \sqrt{2x+3} \) не может быть отрицательным, это решение не подходит.

Ответ: \( 8 + 2\sqrt{22} \).