8. (1 балл) Решите уравнение: log_4(3x-5) = -3

Решение:

1. По определению логарифма, если \( \log_b a = c \), то \( a = b^c \).
2. Применим это к нашему уравнению: \[ 3x - 5 = 4^{-3} \]
3. Вычислим \( 4^{-3} \): \[ 4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64} \]
4. Получаем уравнение: \[ 3x - 5 = \frac{1}{64} \]
5. Решаем линейное уравнение: \[ 3x = 5 + \frac{1}{64} \] \[ 3x = \frac{5 \cdot 64 + 1}{64} \] \[ 3x = \frac{320 + 1}{64} \] \[ 3x = \frac{321}{64} \]
6. Найдем \( x \): \[ x = \frac{321}{64 \cdot 3} = \frac{107}{64} \]
7. Проверим условие существования логарифма: \( 3x - 5 > 0 \). \( 3 \cdot \frac{107}{64} - 5 = \frac{321}{64} - \frac{320}{64} = \frac{1}{64} > 0 \). Условие выполнено.

Ответ: x = 107/64.