8.1 Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 78 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 7 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Решение:

1. Пусть \( S \) — расстояние между А и В, \( v_1 \) — скорость первого автомобиля, \( t_1 \) — время первого автомобиля.
2. Тогда время первого автомобиля: \( t_1 = \frac{S}{v_1} \).
3. Скорость второй половины пути второго автомобиля: \( v_2 = v_1 + 7 \) км/ч.
4. Время второго автомобиля: \( t_2 = \frac{S/2}{78} + \frac{S/2}{v_1 + 7} \).
5. Так как автомобили прибыли одновременно, \( t_1 = t_2 \): \( \frac{S}{v_1} = \frac{S}{2 · 78} + \frac{S}{2(v_1 + 7)} \).
6. Сократим \( S \): \( \frac{1}{v_1} = \frac{1}{156} + \frac{1}{2(v_1 + 7)} \).
7. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{1}{v_1} = \frac{v_1 + 7 + 78}{156(v_1 + 7)} \).
8. \( \frac{1}{v_1} = \frac{v_1 + 85}{156v_1 + 1092} \).
9. Перемножим крест-накрест: \( 156v_1 + 1092 = v_1(v_1 + 85) \).
10. \( 156v_1 + 1092 = v_1^2 + 85v_1 \).
11. Перенесём всё в одну сторону: \( v_1^2 + 85v_1 - 156v_1 - 1092 = 0 \).
12. \( v_1^2 - 71v_1 - 1092 = 0 \).
13. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = (-71)^2 - 4 · 1 · (-1092) = 5041 + 4368 = 9409 \).
14. \( \sqrt{D} = \sqrt{9409} = 97 \).
15. \( v_1 = \frac{71 ± 97}{2} \).
16. Так как скорость не может быть отрицательной, берём положительный корень: \( v_1 = \frac{71 + 97}{2} = \frac{168}{2} = 84 \).

Ответ: 84 км/ч.