8.19 Докажите, что если в четырёхугольнике все стороны равны, то такой четырёхугольник — ромб.

По определению ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Поэтому нужно доказать, что данный четырёхугольник является параллелограммом.

Проведём диагональ \(AC\). Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(CDA\): \(AB=CD\), \(BC=DA\) по условию, а \(AC\) — общая сторона. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам.

Из равенства треугольников получаем \(\angle BAC=\angle DCA\) и \(\angle BCA=\angle DAC\). Это накрест лежащие углы при секущей \(AC\), значит, \(AB\parallel CD\) и \(BC\parallel AD\). Следовательно, четырёхугольник является параллелограммом.

Поскольку все его стороны равны, этот параллелограмм — ромб.

Что и требовалось доказать.