8) 2^{1/3} \(\cdot\) 2^{1/6} \(\cdot\) 64^{-1/2} ; 9) \(3^{3/4} \cdot 8\)^{4/3} ; 10)

Решение:

1. Задание 8:
   \( 2^{1/3} \cdot 2^{1/6} \cdot 64^{-1/2} \)
   Сначала преобразуем 64 в степень двойки: \( 64 = 2^6 \).
   \( 2^{1/3} \cdot 2^{1/6} \cdot (2^6)^{-1/2} \)
   Применяем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m
   } \):
   \( 2^{1/3} \cdot 2^{1/6} \cdot 2^{6 \cdot (-1/2)} = 2^{1/3} \cdot 2^{1/6} \cdot 2^{-3} \)
   Применяем свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):
   \( 2^{1/3 + 1/6 - 3} \)
   Приведём дроби к общему знаменателю 6:
   \( 1/3 = 2/6 \)
   \( 1/3 + 1/6 - 3 = 2/6 + 1/6 - 18/6 = (2+1-18)/6 = -15/6 \)
   Сократим дробь: \( -15/6 = -5/2 \)
   \( 2^{-5/2} \)
   \( \frac{1}{2^{5/2}} = \frac{1}{\sqrt{2^5}} = \frac{1}{\sqrt{32}} = \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{8} \)
2. Задание 9:
   \( (3^{3/4} \cdot 8)^{4/3} \)
   Преобразуем 8 в степень двойки: \( 8 = 2^3 \).
   \( (3^{3/4} \cdot 2^3)^{4/3} \)
   Применяем свойство степени \( (a
   b)^m = a^m \cdot b^m \):
   \( (3^{3/4})^{4/3} \cdot (2^3)^{4/3} \)
   Применяем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m
   } \):
   \( 3^{(3/4) \cdot (4/3)} \cdot 2^{3 \cdot (4/3)} \)
   \( 3^1 \cdot 2^4 \)
   \( 3 \cdot 16 = 48 \)

Ответ: 8) \( \frac{\sqrt{2}}{8} \); 9) 48.