8) $2^{1/3}\cdot 2^{1/6}\cdot 64^{-1/2}$; 9) $(3^{-3/4}\cdot 8)^{4/3}$; 10) $4^{-3/2}+4^0+4^{3/2}$; 11) $\frac{\log_3 36}{\log_3 6}$; 12) $\log_2(\log_2 16)$; 13) $2^{\log_5 625}\cdot 5^{\log_2 0{,}25}$; 14) $\log_4 5+\log_4 0{,}008+\log_4 25$; 15) $\log_{1/9}\frac{\sqrt[3]{3}}{3}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 8) $2^{1/3}\cdot 2^{1/6}\cdot 64^{-1/2}$; 9) $(3^{-3/4}\cdot 8)^{4/3}$; 10) $4^{-3/2}+4^0+4^{3/2}$; 11)…$ Фото задания

Accepted Answer

Представим 64 как степень двойки: $64=2^6$.
$2^{1/3}\cdot2^{1/6}\cdot64^{-1/2}=2^{1/3+1/6}\cdot(2^6)^{-1/2}=2^{1/2}\cdot2^{-3}=2^{-5/2}=\frac{1}{4\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{8}.$
Так как $8=2^3$, применим свойства степеней:
$(3^{-3/4}\cdot8)^{4/3}=(3^{-3/4}\cdot2^3)^{4/3}=3^{-1}\cdot2^4=\frac{16}{3}.$
$4^{-3/2}=\frac18$, $4^0=1$, $4^{3/2}=8$.
$\frac18+1+8=\frac{73}{8}.$
По формуле перехода к новому основанию:
$\frac{\log_3 36}{\log_3 6}=\log_6 36=2$, поскольку $6^2=36$.
Сначала вычислим внутренний логарифм: $\log_2 16=4$. Тогда $\log_2 4=2$.
$\log_5 625=4$, поэтому $2^{\log_5 625}=2^4=16$. Кроме того, $\log_2 0{,}25=\log_2(2^{-2})=-2$, значит $5^{\log_2 0{,}25}=5^{-2}=\frac1{25}$.
Итак, $16\cdot\frac1{25}=\frac{16}{25}.$
Объединим логарифмы с одинаковым основанием:
$\log_4 5+\log_4 0{,}008+\log_4 25=\log_4(5\cdot0{,}008\cdot25)=\log_4 1=0.$
Аргумент логарифма: $\frac{\sqrt[3]{3}}{3}=3^{1/3-1}=3^{-2/3}$, а основание $\frac19=3^{-2}$. Следовательно, $\log_{3^{-2}}3^{-2/3}=\frac{-2/3}{-2}=\frac13$.

8) \(2^{1/3}\cdot 2^{1/6}\cdot 64^{-1/2}\); 9) \((3^{-3/4}\cdot 8)^{4/3}\); 10) \(4^{-3/2}+4^0+4^{3/2}\); 11) \(\frac{\log_3 36}{\log_3 6}\); 12) \(\log_2(\log_2 16)\); 13) \(2^{\log_5 625}\cdot 5^{\log_2 0{,}25}\); 14) \(\log_4 5+\log_4 0{,}008+\log_4 25\); 15) \(\log_{1/9}\frac{\sqrt[3]{3}}{3}\).