8) 2^{2 \(\frac{1}{3}\)} \(\cdot\) 2^{6 \(\frac{1}{6}\)} \(\cdot\) 64^{-\(\frac{1}{2}\)}

Решение:

Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней. Сначала приведем все числа к основанию 2.

1. Представим 64 как степень двойки: \( 64 = 2^6 \).
2. Теперь подставим это в исходное выражение: \( 2^{2 \frac{1}{3}} \cdot 2^{6 \frac{1}{6}} \cdot (2^6)^{-\frac{1}{2}} \)
3. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) к третьему множителю: \( (2^6)^{-\frac{1}{2}} = 2^{6 \cdot (-\frac{1}{2})} = 2^{-3} \).
4. Теперь выражение выглядит так: \( 2^{2 \frac{1}{3}} \cdot 2^{6 \frac{1}{6}} \cdot 2^{-3} \)
5. Применим свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), складывая показатели степеней: \( 2^{2 \frac{1}{3} + 6 \frac{1}{6} - 3} \)
6. Сложим смешанные числа: \( 2 + 6 - 3 = 5 \).
7. Сложим дробные части: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).
8. Общий показатель степени: \( 5 + \frac{1}{2} = 5 \frac{1}{2} \).
9. Таким образом, выражение равно: \( 2^{5 \frac{1}{2}} \).
10. Запишем в виде корня: \( 2^{5 \frac{1}{2}} = 2^5 \sqrt{2} = 32\sqrt{2} \).

Ответ: \( 32\sqrt{2} \).