8.21. Решите системы уравнений: а) $(x+2y)^2+(y-2x)^2=90,\ (x+2y)+(y-2x)=12$; б) $x+y+\frac{x}{y}=9,\ \frac{(x+y)x}{y}=20$. В нижней части изображения видны только фрагменты следующих систем: $x+y+\frac{x}{y}=15$ и $\frac1x-\frac1y=2$; остальные уравнения обрезаны.

Question

Вопрос: $Фото задания: 8.21. Решите системы уравнений: а) $(x+2y)^2+(y-2x)^2=90,\ (x+2y)+(y-2x)=12$; б) \(x+y+\frac{x}{y}=9,\…$ Фото задания

8.21. Решите системы уравнений: а) $(x+2y)^2+(y-2x)^2=90,\ (x+2y)+(y-2x)=12$; б) $x+y+\frac{x}{y}=9,\ \frac{(x+y)x}{y}=20$. В нижней части изображения видны только фрагменты следующих систем: $x+y+\frac{x}{y}=15$ и $\frac1x-\frac1y=2$; остальные уравнения обрезаны.

Accepted Answer

а) Обозначим $u=x+2y$, $v=y-2x$. Тогда

$u^2+v^2=90,\quad u+v=12$.

Возведём второе равенство в квадрат:

$(u+v)^2=u^2+2uv+v^2$, поэтому $144=90+2uv$, откуда $uv=27$.

Числа $u$ и $v$ являются корнями уравнения $t^2-12t+27=0$:

$t^2-12t+27=(t-3)(t-9)=0$.

Получаем два случая.

$u=3,\ v=9$: $x+2y=3$, $y-2x=9$. Отсюда $x=-3$, $y=3$.
$u=9,\ v=3$: $x+2y=9$, $y-2x=3$. Отсюда $x=\frac35$, $y=\frac{21}{5}$.

б) Обозначим $s=x+y$, $t=\frac{x}{y}$, где $y\ne0$. Система принимает вид:

$s+t=9,\quad st=20$.

Из первого равенства $s=9-t$. Подставим во второе:

$t(9-t)=20$, то есть $t^2-9t+20=0$.

$(t-4)(t-5)=0$, поэтому $t=4$ или $t=5$.

При $t=4$: $s=5$, поэтому $\frac{x}{y}=4$, $x+y=5$. Получаем $y=1$, $x=4$.
При $t=5$: $s=4$, поэтому $\frac{x}{y}=5$, $x+y=4$. Получаем $y=\frac23$, $x=\frac{10}{3}$.

Фрагменты систем в нижней части изображения решить полностью нельзя: вторые уравнения обрезаны. Для их решения необходима нижняя часть фотографии целиком.

Ответ: а) $(-3;3),\left(\frac35;\frac{21}{5}\right)$; б) $(4;1),\left(\frac{10}{3};\frac23\right)$.