8. (3 б) Спростіть вираз $$ \left( \frac{m^2 + n^2}{\frac{1}{3}} - \frac{m+n}{\frac{1}{1}} \right) \cdot mn^{-1} $$

Розв'язання:

Спочатку спростимо вираз у дужках:

1. Знайдемо спільний знаменник для дробів у чисельнику: \( m^2 + n^2 = \frac{3(m^2+n^2)}{3} \)
2. Тоді чисельник першого дробу буде: \( \frac{3(m^2+n^2)}{3} \)
3. Перший дріб стає: \( \frac{3(m^2+n^2)}{3} \div \frac{1}{3} = \frac{3(m^2+n^2)}{3} \cdot 3 = 3(m^2+n^2) = 3m^2 + 3n^2 \)
4. Другий дріб: \( \frac{m+n}{1} = m+n \)
5. Вираз у дужках: \( (3m^2 + 3n^2) - (m+n) = 3m^2 + 3n^2 - m - n \)
6. Тепер помножимо отриманий вираз на \( mn^{-1} = \frac{m}{n} \)
7. \( (3m^2 + 3n^2 - m - n) \cdot \frac{m}{n} = \frac{3m^3 + 3mn^2 - m^2 - mn}{n} \)
8. Розпишемо знаменник: \( \frac{3m^3}{n} + \frac{3mn^2}{n} - \frac{m^2}{n} - \frac{mn}{n} \)
9. Спростимо: \( \frac{3m^3}{n} + 3mn - \frac{m^2}{n} - m \)

Відповідь: \( \frac{3m^3}{n} + 3mn - \frac{m^2}{n} - m \)